Обратная матрица в r. Способы нахождения обратной матрицы
1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица- вырожденная и обратной матрицыне существует. Если, то матрицаневырожденная и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу , транспонированную к.
3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу.
4. Составляем обратную матрицу по формуле .
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы
.
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :
3) Вычисляем обратную матрицу:
,
4) Проверяем:
№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы
Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
В матрице размеромвычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы-го порядка, где. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы .
Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:или.
Из определения следует:
1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е..
2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е..
3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица- невырожденная.
Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число .
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор-го порядка, не равный нулю:
.
Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .
№5Линейная независимость строк матрицы
Дана матрица размера
Обозначим строки матрицы следующим образом:
Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:
Определение. Строка называется линейной комбинацией строкматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа(любые числа):
Определение. Строки матрицы называютсялинейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
Где . (1.1)
Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строкиназываютсялинейно независимыми .
Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).
Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.
№6 Решение системы линейных уравнений снеизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система линейных уравнений спеременными имеет вид:
,
где () - произвольные числа, называемыекоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.
Краткая запись: ().
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Определение 1
Метод обратной матрицы - это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Пример 1
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи : А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B .
Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В.
Замечание
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Пример 2Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Как решить?
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X:
- Находим определитель матрицы А:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:
А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,
А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 ,
А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,
А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 ,
А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,
А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 ,
А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,
А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 ,
А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:
А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Ответ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений
и с помощью элементарных преобразований
.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :
Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы .
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров .
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор
?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента
, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ
у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ .
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение либо
Проверка:
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы .
Здесь определитель раскрыт по первой строке
.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .
2) Находим матрицу миноров .
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента
. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ
строго у следующих элементов:
В данном случае:
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.
Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу
Обозначим Δ = det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной , если Δ = 0.
Квадратная матрица В есть для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Обратная матрица матрице А, обозначается через А - 1 , так что В = А - 1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 1 . Для матрицы найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант матрицы А
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной матрицы.
Откуда .
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для матрицы: А= .
Решение.
Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак,
.
Исходной по формуле: A^-1 = A*/detA, где A* - присоединенная матрица, detA - исходной матрицы. Присоединенная матрица - это транспонированная матрица дополнений к элементам исходной матрицы.
Первым делом найдите определитель матрицы, он должен быть отличен от нуля, так как дальше определитель будет использоваться в качестве делителя. Пусть для примера дана матрица третьего (состоящая из трех строк и трех столбцов). Как видно, определитель матрицы не равен нулю, поэтому существует обратная матрица.
Найдите дополнения к каждому элементу матрицы A. Дополнением к A называется определитель подматрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, причем этот определитель берется со знаком. Знак определяется умножением определителя на (-1) в степени i+j. Таким образом, например, дополнением к A будет определитель, рассмотренный на рисунке. Знак получился так: (-1)^(2+1) = -1.
В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование - это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.