В математике деление на ноль – невозможно! Одним из способов для объяснения данного правила является анализ процесса, который показывает, что происходит, когда одно число разделено на другое.

Ошибка деления на ноль в Excel

В реальности операция деление это по сути тоже что и вычитание. Например, деление числа 10 на 2 является многократным вычитанием 2 от 10-ти. Многократность повторяется до той поры пока результат не будет равен 0. Таким образом необходимо число 2 вычитать от десяти ровно 5 раз:

1. 10-2=8
2. 8-2=6
3. 6-2=4
4. 4-2=2
5. 2-2=0

Если же попробовать разделить число 10 на 0, никогда мы не получим результат равен 0, так как при вычитании 10-0 всегда будет 10. Бесконечное количество раз вычитаний ноля от десяти не приведет нас к результату =0. Всегда будет один и ото же результат после операции вычитания =10:

• 10-0=10
• 10-0=10
• 10-0=10
• ∞ бесконечность.

В кулуарах математиков говорят, что результат деления любого числа на ноль является «не ограниченным». Любая компьютерная программа, при попытке деления на 0, просто возвращает ошибку. В Excel данная ошибка отображается значением в ячейке #ДЕЛ/0!.

Но при необходимости можно обойти возникновения ошибки деления на 0 в Excel. Просто следует пропустить операцию деления если в знаменателе находится число 0. Решение реализовывается с помощью помещения операндов в аргументы функции =ЕСЛИ():

Таким образом формула Excel позволяет нам «делить» число на 0 без ошибок. При делении любого числа на 0 формула будет возвращать значение 0. То есть получим такой результат после деления: 10/0=0.



Как работает формула для устранения ошибки деления на ноль

Для работы корректной функция ЕСЛИ требует заполнить 3 ее аргумента:

1. Логическое условие.
2. Действия или значения, которые будут выполнены если в результате логическое условие возвращает значение ИСТИНА.
3. Действия или значения, которые будут выполнены, когда логическое условие возвращает значение ЛОЖЬ.

В данном случаи аргумент с условием содержит проверку значений. Являются ли равным 0 значения ячеек в столбце «Продажи». Первый аргумент функции ЕСЛИ всегда должен иметь операторы сравнения между двумя значениями, чтобы получить результат условия в качестве значений ИСТИНА или ЛОЖЬ. В большинстве случаев используется в качестве оператора сравнения знак равенства, но могут быть использованы и другие например, больше> или меньше >. Или их комбинации – больше или равно >=, не равно!=.

Если условие в первом аргументе возвращает значение ИСТИНА, тогда формула заполнит ячейку значением со второго аргумента функции ЕСЛИ. В данном примере второй аргумент содержит число 0 в качестве значения. Значит ячейка в столбце «Выполнение» просто будет заполнена числом 0 если в ячейке напротив из столбца «Продажи» будет 0 продаж.

Если условие в первом аргументе возвращает значение ЛОЖЬ, тогда используется значение из третьего аргумента функции ЕСЛИ. В данном случаи - это значение формируется после действия деления показателя из столбца «Продажи» на показатель из столбца «План».

Формула для деления на ноль или ноль на число

Усложним нашу формулу функцией =ИЛИ(). Добавим еще одного торгового агента с нулевым показателем в продажах. Теперь формулу следует изменить на:

Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца «Выполнение»:

Теперь независимо где будет ноль в знаменателе или в числителе формула будет работать так как нужно пользователю.

Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но на самом деле знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.

Арифметические действия

Арифметические действия, которые изучаются в школе, неравноценны с точки зрения математиков. Они признают полноправными только две из этих операций - сложение и умножение. Они входят в само понятие числа, и все остальные действия с числами так или иначе строятся на этих двух. То есть невозможно не только деление на ноль, но и деление вообще.

Вычитание и деление

Чего же не хватает остальным действиям? Опять же, из школы известно, что, например, вычесть из семи четыре - значит, взять семь конфет, четыре из них съесть и посчитать те, что останутся. Но математики поеданием конфет и вообще воспринимают их совершенно иначе. Для них есть только сложение, то есть запись 7 - 4 означает число, которое в сумме с числом 4 будет равно 7. То есть для математиков 7 - 4 - это краткая запись уравнения: х + 4 = 7. Это не вычитание, а задача - найти такое число, которое нужно поставить вместо х.

То же самое относится к делению и умножению. Деля десять на два, младшеклассник раскладывает десять конфет на две одинаковые кучки. Математик же и здесь видит уравнение: 2 · х = 10.

Так и выясняется, почему запрещено деление на ноль: оно просто невозможно. Запись 6: 0 должна превращаться в уравнение 0 · х = 6. То есть требуется найти число, которое можно умножить на ноль и получить 6. Но известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это сущностное свойство ноля.

Таким образом, нет такого числа, которое, умножаясь на ноль, давало бы какое-то число, отличное от ноля. Значит, у этого уравнения нет решения, нет такого числа, которое соотносилось бы с записью 6: 0, то есть она не имеет смысла. О её бессмысленности и говорят, когда запрещают деление на ноль.

Делится ли ноль на ноль?

А можно ли ноль разделить на ноль? Уравнение 0 · х = 0 не вызывает затруднений, и можно взять за х этот самый ноль и получить 0 · 0 = 0. Тогда 0: 0 = 0? Но, если, например, принять за х единицу, тоже получится 0 · 1 = 0. Можно принять за х вообще какое угодно число и делить на ноль, и результат останется прежним: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 и так далее.

Таким образом, в это уравнение можно вставить совершенно любое число, и невозможно выбрать какое-то конкретное, невозможно определить, какое число обозначается записью 0: 0. То есть и эта запись тоже не имеет смысла, и деление на ноль всё равно невозможно: он не делится даже сам на себя.

Такова важная особенность операции деления, то есть умножения и связанного с ним числа ноль.

Остаётся вопрос: но вычитать его можно? Можно сказать, что настоящая математика начинается с этого интересного вопроса. Чтобы найти ответ на него, необходимо узнать формальные математические определения числовых множеств и познакомиться с операциями над ними. Например, существуют не только простые, но и делениекоторых отличается от деления обычных. Это не входит в школьную программу, но университетские лекции по математике начинаются именно с этого.

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Математика (5-6)

Математика

Почему делить на ноль нельзя?

Информация о том, что на ноль делить нельзя, известна нам со школьной скамьи. Мы усваиваем это правило раз и навсегда. Однако лишь некоторые из нас задаются вопросом, а почему собственно нельзя это делать. Но ведь знать и понимать причины невозможности этого действия важно, так оно раскрывает принципы «работы» и других математических операций.

Все математические действия равны, но некоторые равнее других

Начнём с того, что четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение и деление - не являются равноправными. И разговор идёт не о порядке выполнения действий при решении какого-нибудь примера или уравнения. Нет, имеется в виду само понятие числа. И согласно ему, наиболее важными являются сложение и умножение. А уже вычитание и деление «вытекают» из них тем или иным образом.

Сложение и вычитание

Например, разберём простую операцию: «3 - 1». Что это означает? Школьник легко объяснит эту задачку: это означает, что было три предмета (например, три апельсина), один вычли, оставшееся количество предметов и есть верный ответ. Верно описано? Верно. Мы и сами объяснили бы точно так же. Но математики рассматривают процесс вычитания иначе.

Операция «3 - 1» рассматривается не с позиции вычитания, а только со стороны сложения. Согласно этому нет никаких «три минус один», есть «какое-то неизвестное число, которое при прибавлении одного даёт три». Таким образом, простое «три минус один» превращается в уравнение с одним неизвестным: «х + 1 = 3». Причём появление уравнения изменило знак - вычитание поменялось на сложение. Осталась только одна задача - отыскать подходящее число.

Справочное пособие содержит все основные формулы школьного курса математики: алгебры, геометрии и начал анализа. Для удобства пользования справочником составлен предметный указатель. Пособие предназначено для школьников 5-11 классов и абитуриентов.

Умножение и деление

Аналогичные метаморфозы происходят с таким действием, как деление. Задачу «6: 3» математики отказываются воспринимать как некие шесть предметов, разбитых на три части. «Шесть разделить на три» не что иное, как «неизвестное число, умноженное на три, в результате чего получилось шесть»: «х · 3».

Делим на ноль

Выяснив принцип математических действий по отношению к задачам с вычитанием и делением, рассмотрим наше деление на ноль.

Задача «4: 0» превращается в «х · 0». Получается, нам нужно найти такое число, умножение с которым даст нам 4. Известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это уникальное свойство нуля и, собственно, его суть. Числа, умноженного на ноль и выдающего любое другое число кроме нуля, не существует. Мы пришли к противоречию, значит задача не имеет решения. Следовательно, записи «4: 0» не соответствует никакое определённое число, а отсюда уже вытекает её бессмысленность. Поэтому, чтобы кратко подчеркнуть непродуктивность такого процесса, как деление на ноль, и говорят, что «на ноль делить нельзя».

Больше интересных материалов:

• Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе
• Внеурочная деятельность по математике в начальной школе
• Формирование математической грамотности в начальной школе

А что получится, если ноль разделить на ноль?

Представим такое уравнение: «0 · x = 0». С одной стороны, выглядит вполне справедливо. Представляем вместо неизвестного числа ноль и получаем готовое решение: «0 · 0 = 0». Из этого вполне логично вывести, что «0: 0 = 0».

Однако теперь давайте в это же уравнение с неизвестным вместо «x = 0» подставим любое другое число, например «x = 7». Получившееся выражение выглядит теперь как «0 · 7 = 0». Вроде бы, всё верно. Делаем обратную операцию и получаем «0: 0 = 7». Но тогда, получается, что можно взять абсолютно любое число и вывести 0: 0 = 1, 0: 0 = 2... 0: 0 = 145... - и так до бесконечности.

Если при любом числе х уравнение будет справедливо, то мы не имеем права выбрать лишь одно, исключив остальные. Значит, мы так и не можем ответить, какому числу соответствует выражение «0: 0». Снова оказавшись в тупике, мы признаём, что и эта операция тоже бессмысленна. Получается, что ноль нельзя делить даже на самого себя.

Оговоримся, что в математическом анализе иногда бывают специальные условия задачи - так называемое «раскрытие неопределенности». В подобных случаях разрешается отдавать предпочтение одному из возможных решений уравнения «0 · x = 0». Однако в арифметике таких «допусков» не происходит.

Если нарушать общепринятые правила в мире науки, то можно получить самые непредвиденные результаты.

Еще со школьной скамьи учителя нам твердили, что в математике есть одно правило, которое нельзя нарушать. Звучит оно так: "На ноль делить нельзя!"

Почему же такое привычное для нас число 0, с которым мы так часто сталкиваемся в повседневной жизни, при проведении простой арифметической операции, как деление, вызывает столько трудностей?

Давайте разберемся в этом вопросе.

Если производить деление одного числа на все меньшие числа, то в результате мы будем получать все большие значения. Например

Таким образом, получается, что если делить на число, стремящееся к нулю, то мы получим наибольший результат, стремящийся к бесконечности.

Значит ли это, что если мы разделим наше число на ноль, то получим бесконечность?

Это звучит логично, но все что нам известно - это только то, что если делить на число близкое по значению к нулю, то результат будет всего лишь стремиться к бесконечности и это не означает того, что при разделении на ноль мы в результате будем иметь бесконечность. Почему это так?

Для начала нам необходимо разобраться что из себя представляет арифметическая операция деления. Так, если мы 20 разделим на 10, то это будет означать то, сколько раз нам нужно будет сложить число 10 чтобы в результате получить 20 или то, какое число нам нужно два раза взять чтобы получилось 20.

В общем-то, деление представляет собой обратное арифметическое действие умножению. К примеру, умножая какое угодно число на Х, мы можем задать вопрос: "Существует ли число, которое нам нужно умножить на полученный результат, чтобы узнать исходное значение Х?" И если такое число есть, то оно и будет обратным значением для Х. Например, если мы умножим 2 на 5, то получим 10. Если после этого 10 мы умножим на одну пятую, то опять получим 2:

Таким образом, 1/5 - это число обратное 5, обратным числом для 10 будет 1/10.

Как вы уже заметили, в результате умножения какого-то числа на его обратное число ответом всегда будет единица. А в том случае, если вы захотите разделить какое-то число на ноль, то необходимо будет найти его обратное число, которое должно равняться единице деленной на ноль.

Это будет означать, при умножении на ноль должна получиться единица, а так как известно, что если умножить любое число на 0 получается 0, то это невозможно и у нуля не существует обратного числа.

Возможно ли что-то придумать, чтобы обойти это противоречие?

Ранее математики уже находили способы обходить математические правила, ведь в прошлом по математическим правилам было невозможно получать значение квадратного корня из отрицательного числа, тогда было предложено обозначать такие квадратные корни мнимыми числами. В результате появился новый раздел математики о комплексных числах.

Так почему бы нам также не попытаться ввести новое правило, согласно которому единица деленная на ноль обозначалась бы знаком бесконечности и проверить, что из этого получится?

Предположим, что нам ничего не известно о бесконечности. В таком случае, если исходить от обратного числа ноль, то умножая ноль на бесконечность, мы должны получить единицу. А если прибавить к этому еще одно значение нуля деленного на бесконечность, то должны в результате получится число два:

В соответствии с распределительным законом математики левую часть уравнения можно представить в виде:

а так как 0+0=0, то наше уравнение примет вид 0*∞=2, в связи с тем, что мы уже определили 0*∞=1 то получается, что 1=2.

Это звучит нелепо. Однако, такой ответ тоже нельзя признать совсем неверным, поскольку подобные вычисления попросту не действуют для обычных чисел. Например, в сфере Римана применяется деление на ноль, но уже совершенно иным способом, а это совсем другая история...

Короче говоря, привычным способом деление на ноль ничем хорошим не заканчивается, но тем не менее это не должно стать нам помехой для экспериментов в области математики, вдруг нам удастся открыть новые области для исследований.

Математическое правило относительно деления на ноль всем людям рассказывали еще в первом классе общеобразовательной школы. «Делить на ноль нельзя», - учили всех нас и запрещали под страхом подзатыльника делить на ноль и вообще обсуждать эту тему. Хотя некоторые учителя младших классов все-таки пробовали объяснить на простейших примерах, почему нельзя делить на ноль, но эти примеры были настолько нелогичны, что проще было просто запомнить это правило и не задавать лишних вопросов. Но все эти примеры были нелогичными по той причине, что логически объяснить это в первом классе нам учителя не могли, так как в первом классе мы и близко не знали, что такое уравнение, а логически это математическое правило объяснить можно только с помощью уравнений.

Все знают, что при делении любого числа на ноль выйдет пустота. Почему именно пустота, мы рассмотрим потом.

Вообще в математике только две процедуры с числами признаются независимыми. Это сложение и умножение. Остальные же процедуры считаются производные от этих двух процедур. Рассмотрим это на примере.

Скажите, сколько будет, например, 11-10? Мы все моментально ответим, что это будет 1. А как мы нашли такой ответ? Кто-то скажет, что это и так понятно, что будет 1, кто-то скажет, что от 11 яблок отнял 10 и посчитал, что получилось одно яблоко. С точки зрения логики все правильно, но вот по законам математики эта задача решается по-другому. Нужно вспомнить, что основными процедурами считаются сложение и умножение, поэтому нужно составить такое уравнение: х+10=11, а только потом х=11-10, х=1. Заметим, что сложение идет на первом месте, а только потом на основе уравнения мы можем отнимать. Казалось бы, зачем столько процедур? Ведь ответ и так очевиден. Но только такими процедурами можно объяснить невозможность деления на ноль.

Например, мы делаем такую математическую задачу: хотим 20 поделить на ноль. Итак, 20:0=х. Чтобы узнать, сколько же будет, нужно вспомнить, что процедура деления вытекает из умножения. Другими словами, деление-это производная процедура от умножения. Поэтому нужно составить уравнение из умножением. Итак, 0*х=20. Вот тут и тупик. Какое бы число мы не множили на ноль, все равно будет 0, но не 20. Вот отсюда и вытекает правило: делить на ноль нельзя. Ноль делить на любое число можно, а вот число на ноль - увы, нельзя.

Отсюда появляется еще один вопрос: а можно ли ноль делить на ноль? Итак, 0:0=х, значит 0*х=0. Это уравнение можно решить. Возьмем, например, х=4, значит 0*4=0. Получается, что если разделить ноль на ноль, получится 4. Но и здесь все не так просто. Если мы возьмем, например, х=12 или х=13, то выйдет тот же ответ (0*12=0). Вообще, какое бы мы число не подставляли, все равно выйдет 0. Поэтому, если 0:0, то получится бесконечность. Вот такая нехитрая математика. К сожалению, процедура деления ноль на ноль тоже бессмысленна.

Вообще, цифра ноль в математике самая интересная. К примеру, все знают, что любое число в нулевой степени дает единицу. Конечно, с таким примером в реальной жизни мы не встречаемся, но вот с делением на ноль жизненные ситуации попадаются очень часто. Поэтому запомним, что делить на ноль нельзя.